Il livello di Fermi

I conduttori metallici si possono considerare costituiti da un reticolo entro il quale si può muovere, pressoché liberamente, un "gas di elettroni" originato dal fatto che più elettroni appartenenti alle orbite più esterne dei singoli atomi, quando questi si avvicinano per costituire un cristallo metallico, si svincolano pressoché totalmente dal proprio atomo originario.

A titolo indicativo, nella tabella 1A viene riportata la densità di questo gas di elettroni per alcuni metalli, la corrispondente densità atomica (numero di atomi per unità di volume) e il rapporto fra i due valori. Tale rapporto consente di evidenziare il numero medio di elettroni liberi donati da ciascun atomo al gas elettronico.

Attraverso una serie di dimostrazioni la fisica classica è riuscita a dedurre utilizzando il modello del gas di elettroni liberi la legge di Ohm. Questo è sicuramente un buon successo del modello stesso ma non è necessariamente l'indicazione che esso sia un modello esauriente.

Infatti, sempre attraverso una serie di dimostrazioni, risulta la resistività espressa in funzione della temperatura dalla formula

r =c(T)^1/2

In realtà, invece, le misure sperimentali della dipendenza resistività - temperatura mostrano che, per ciascun metallo, è individuabile una temperatura q al di sopra della quale la dipendenza r - T tende a diventare di proporzionalità diretta e al di sotto della quale tende a diventare del tipo r = cost T⁵

Inoltre, dal punto di vista della fisica classica, un gas di elettroni non è diverso da un gas di molecole e proprio per questo si potrebbe supporre che l'energia totale del sistema costituito dal gas di elettroni di conduzione deve valere:

Per un metallo sia espresso da

N3kT+N(3/2)kT=N(9/2)kT

Per un isolante

N3kt

Conseguentemente, assumendo N=N_A e quindi Nk=R, il calore specifico di un metallo dovrebbe valere approssimativamente (9/2)R e il valore specifico di un isolante dovrebbe valere approssimativamente 3R.

Ma la previsione è decisamente negata dalle misure sperimentali; infatti tutti i solidi al di sopra di una certa temperatura, sono caratterizzati da un valore del calore specifico molare pari a circa 3R.

La precedente trattazione ha fornito un'interpretazione microscopica della conducibilità elettrica di un metallo mediante un modello nel quale gli elettroni si devono considerare praticamente liberi e possono essere trattati secondo le leggi della fisica classica. Questo stato di libertà è tipico degli elettroni esterni degli atomi che creano legami metallici ma non è applicabile agli elettroni degli atomi che stabiliscono fra loro legami ionici o covalenti. Questi tipi di legame bloccano in certo modo gli elettroni intorno agli atomi creando ottetti stabili e quindi sono caratteristici di sostanze che, in condizioni normali, si presentano come isolanti.

Le considerazioni svolte mettono quindi in evidenza che il modello classico del gas di elettroni liberi, accanto ad alcune previsioni corrette, comporta anche previsioni errate e non è in grado di interpretare altri fenomeni importanti.

Una teoria utilizzata per risolvere simili problemi è quella del "modello di Sommerfeld" che descrive gli elettroni di conduzione di un metallo come cariche libere di muoversi in una "buca di energia potenziale elettrostatica" a pareti verticali e di profondità E_a.

Per giustificare questa ipotesi ci si può riferire ad un ipotetico "cristallo unidimensionale" ovvero ad una fila indefinita di ioni carichi positivamente e cercare di determinare la forma del potenziale da esso generato.

Quando si considera una fila di ioni positivi identici ed equidistanti, la forma del potenziale da essa generato diviene allora, in prima approssimazione, del tipo indicato in figura.

In essa, le curve tratteggiate indicano il potenziale associato a ciascun ione e la curva a tratto continuo il potenziale risultante.

Si noti, in quest'ultima figura la forma rettangolare del profilo dell'energia potenziale dell'elettrone.

Estendendo il ragionamento svolto per il "cristallo unidimensionale" all'insieme tridimensionale degli ioni carichi positivamente che costituiscono il cristallo, si può allora giungere a considerare il generico elettrone di conduzione come dotato di energia potenziale negativa.

Per estrarre dal cristallo occorrerà dunque fornire ad esso almeno una equivalente energia positiva e ciò conduce all'immagine di un elettrone posto in una sorta di "buca di energia potenziale", come appunto si era detto in precedenza.

Secondo il modello classico, che non prevede quantizzazioni di sorta, l'elettrone potrà assumere un'energia di valore qualunque nella buca. Ad esempio, allo zero assoluto, tenendo conto della relazione (1/2)mv²=(3/2)kT, secondo la quale se T=0 deve essere v=0, tutti gli elettroni si troveranno al fondo della buca con energia nulla.

Quando la temperatura del cristallo sarà diversa da zero essi acquisteranno energia cinetica e si troveranno a un certo livello nella buca.per valori di temperatura più elevati, un certo numero di essi potrà essere dotato di energia maggiore di E_a e potrà quindi uscire dalla buca di energia potenziale ovvero potrà fuoriuscire dal metallo.

Quando nel descrivere il comportamento dell'elettrone si tiene conto dei principi quantistici, la precedente descrizione subisce due sostanziali modifiche:

i livelli energetici che l'elettrone può assumere nella buca non costituiscono più un insieme continuo. L'applicazione dei principi della meccanica quantistica conduce infatti a prevedere un insieme discreto di livelli energetici possibili la cui densità è espressa dalla formula seguente:

dZ

__ = C E^1/2

dE

ove C è una costante dipendente dal volume a disposizione degli elettroni, dalla loro massa e dalla costante di Planck.

Per quanto riguarda la collocazione degli elettroni nei livelli energetici possibili occorre tenere presente il principio di Pauli, in base al quale due elettroni non possono mai avere tutti i numeri quantici identici. In virtù di questo principio dunque, un livello energetico potrà essere occupato al più da due elettroni che dovranno però avere spin opposto.

Supponendo allora che il cristallo si trovi allo zero assoluto avremo una coppia di elettroni nel livello energetico più basso della buca di energia potenziale, una seconda coppia nel secondo livello, una terza coppia nel terzo livello e così via.

Il livello di maggior energia occupato dagli elettroni di conduzione allo zero assoluto si denomina livello di Fermi ed energia di Fermi è chiamata l'energia corrispondente a tale livello.

Il valore dell'energia di Fermi di un metallo allo zero assoluto risulta proporzionale (non direttamente) alla densità n di elettroni liberi.

Questa considerazione consente di comprendere perché i metalli caratterizzati da un livello d Fermi con energia maggiore sono anche quelli dotati di maggior densità di elettroni liberi.

In base a quanto detto in precedenza, possiamo rappresentare la probabilità di occupazione P(E) dei livelli energetici possibili allo zero assoluto come in figura.

Si osservi che la figura è del tutto simile alla figura ma è troncata in corrispondenza del livello di Fermi. Infatti la figura è una rappresentazione dei livelli energetici possibili mentre la figura è una rappresentazione dei livelli energetici effettivamente occupati dagli elettroni. Dalla figura si passa quindi alla figura tenendo conto della figura e questa indica che allo zero assoluto la probabilità che un elettrone abbia energia superiore a quella indicata dal livello di Fermi vale zero.

Quando si considerano temperature superiori allo zero assoluto, gli elettroni possono assumere energie superiori a quella del livello di Fermi. Infatti la probabilità P(E) di occupazione dei livelli si dimostra dipendere dalla temperatura secondo la relazione seguente:

P(E)= 1

e^(E-Ef)/(kT)+1

Per ottenere la distribuzione della densità dei livelli energetici occupati dagli elettroni si dovrà ora moltiplicare la funzione per la e ciò conduce alla figura , nella quale dN/dE indica la densità dei livelli energetici occupati in funzione dell'energia E.

La deduzione della dipendenza della resistività di un metallo dalla temperatura è molto meno intuitiva della deduzione del suo calore specifico.

Essa infatti ci obbliga a considerare il carattere ondulatorio dell'elettrone e a determinare (con calcoli non semplici) l'interazione fra l'onda ad esso associabile e gli ioni del reticolo. Così, mentre nella trattazione classica si parlava di urto fra la particella elettrone e gli ioni del reticolo, ora si deve ragionare in termini di interferenza dell'onda elettrone con gli ioni del reticolo.

Lo sviluppo matematico di queste considerazioni mette in evidenza che per gli elettroni di conduzione le vibrazioni ioniche determinano un libero cammino medio dell'onda elettronica che è proporzionale a 1/T. da ciò si può dedurre che anche la conducibilità sarà proporzionale a 1/T ovvero che la resistività sarà proporzionale a T, in accordo, secondo quanto detto nel terzo paragrafo, con il dato sperimentale.

Tutto ciò permette di comprendere anche il cosiddetto effetto fotoelettrico, considerando che solo quanti di radiazione di frequenza f sufficientemente elevata sono in grado di estrarre gli elettroni dal cristallo da esso irraggiato.

Nella quale si mette in evidenza che l'energia di soglia hf che è necessario superare per espellere gli elettroni è direttamente fornita dall'intervallo energetico Æ che separa il livello di Fermi dall'energia zero associata allo spazio esterno al solido.

Un effetto di "soglia" di questo tipo non può essere spiegato con un modello classico degli elettroni perché ipotizzerebbe che il valore della soglia energetica al di sopra della quale si ha espulsione di elettroni dovrebbe diminuire fortemente con l'aumentare della temperatura del solido. Il modello quantistico, secondo il quale, a temperature anche piuttosto elevate, solo pochi elettroni possiedono energie appena superiori al livello di Fermi, giustifica invece molto semplicemente l'esistenza della frequenza di soglia fotoelettrica.

Si può giustificare inoltre l'effetto termoelettrico che consiste nell'emissione di elettroni da parte di un metallo adeguatamente riscaldato. Le misure della densità di corrente J associata agli elettroni emessi dall'unità di superficie di un metallo che si trova alla temperatura assoluta T conducono alla relazione seguente:

J=AT²e^-C/(kT)

Ove A, in molti casi, assume il valore di 1.2x10^-2 A/(m²K²) e C è una costante tipica di ciascun metallo dell'ordine di qualche eV. tale formula è nota come formula di Richardson - Fermi.

Anche in questo caso il modello classico del gas di elettroni si dimostra incapace di interpretare sia la forma dell'equazione sia l'origine fisica del parametro costante C. il modello quantistico consente invece di dedurre il valore di A sopra indicato e di identificare la costante C nell'energia potenziale Æ che separa il livello di Fermi dall'energia zero dello spazio esterno al solido.